Relaciones y funciones: ejercicios resueltos paso a paso

La inversa “deshace” lo que hace la función. Al intercambiar x e y, su gráfico es el reflejo del original respecto de la recta y = x. Acá tenés 8 ejemplos resueltos, con cada paso explicado y verificado.

Conceptos clave

Función inversa

La inversa “deshace” lo que hace la función. Al intercambiar x e y, su gráfico es el reflejo del original respecto de la recta y = x.

f (f^{- 1} (x)) = x

Dominio

Son los valores de x donde la fórmula tiene sentido: no se puede dividir por 0, ni sacar raíz par de un negativo, ni logaritmo de algo que no sea positivo.

x - 2 \Rightarrow x \geq 2

Sumas de Riemann

El área bajo la curva se aproxima con rectángulos. Cuantos más (y más finitos) usemos, mejor la aproximación; en el límite da exactamente la integral.

\int_{a}^{b} f = n \to \infty lim \sum f (x_{i}) Δ x

Máximos y mínimos

Donde la función pasa de crecer a decrecer la tangente es horizontal (f′ = 0): ahí hay un máximo. Si pasa de decrecer a crecer, un mínimo.

f^{'} (x) = 0 y cambio de signo de f^{'}

¿Para qué el gráfico?

Ver el problema dibujado ayuda a entenderlo y a controlar el resultado: si la cuenta dice una cosa y el dibujo muestra otra, algo anda mal.

dibujo \approx cuenta

Conjuntos

La unión junta los elementos de ambos conjuntos, la intersección deja solo los comunes y el complemento, los que no están.

A \cup B, A \cap B, A^{c}

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: dominio de f(x) = √(4 - x^2)/(x - 1)

Método: Dominio

Escribimos la función
El dominio son todos los valores de x para los que la función se puede calcular.
$f (x) = \frac{- x ^{2} + 4}{x - 1}$
Buscamos las restricciones
Hay que pedir: denominadores distintos de 0, lo de adentro de una raíz par mayor o igual que 0 y lo de adentro de un logaritmo mayor que 0.
$x - 1 \neq = 0 (hay un denominador)$
$- x^{2} + 4 \geq 0 (hay una ra \overset{ı}{ˊ} z cuadrada)$
Resolvemos cada condición
Buscamos dónde se anula cada expresión: esos valores parten la recta en intervalos.
$x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$
$- x^{2} + 4 = 0 \Rightarrow x = - 2, 2$
Probamos un valor en cada intervalo
Elegimos un número de cada intervalo y vemos si cumple todas las condiciones. Los extremos se incluyen solo si la condición es “≥”.
Intervalo Prueba Condiciones
$(- \infty, - 2)$ $x = - 3$ no cumple
$(- 2, 1)$ $x = - 0, 5$ cumple ✓
$(1, 2)$ $x = 1, 5$ cumple ✓
$(2, + \infty)$ $x = 3$ no cumple
Escribimos el dominio
Juntamos los intervalos donde se cumplen todas las condiciones.
$Dom f = [- 2, 1) \cup (1, 2]$
Verificamos
Calculamos la función en un valor del dominio (tiene que dar un número) y, si hay, en uno excluido (no se puede calcular).
$f (0) = - 2 ✓$
$f (1) no existe ✓$

Intervalo	Prueba	Condiciones
$(- \infty, - 2)$	$x = - 3$	no cumple
$(- 2, 1)$	$x = - 0, 5$	cumple ✓
$(1, 2)$	$x = 1, 5$	cumple ✓
$(2, + \infty)$	$x = 3$	no cumple

Resultado

Dom f = [- 2, 1) \cup (1, 2]

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Ejemplo 2: imagen de f(x) = x^2 - 4x + 1

Método: Valor extremo

Escribimos la función y su dominio
La imagen (o rango) es el conjunto de valores que toma y = f(x) cuando x recorre el dominio.
$f (x) = x^{2} - 4 x + 1$
$Dom f = R$
Buscamos el valor extremo
Es un polinomio de grado par con coeficiente principal positivo: tiene un valor mínimo. Lo buscamos donde la derivada se anula.
$f^{'} (x) = 2 x - 4$
$f^{'} (x) = 0 \Rightarrow x = 2$
$f (2) = - 3$
Lo vemos en el gráfico
La imagen se lee en el eje y: son las alturas que alcanza la curva.
$Im f = [- 3, + \infty)$
Verificamos
Tomamos un valor de la imagen y comprobamos que hay un x del dominio que lo alcanza.
$f (0, 267949) \approx 0 = 0 ✓$

Resultado

Im f = [- 3, + \infty)

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Ejemplo 3: paridad de f(x) = x^4 - 3x^2

Método: Paridad

Calculamos f(−x)
Reemplazamos x por (−x) y simplificamos. Recordá: (−x)² = x², (−x)³ = −x³, sen(−x) = −sen x, cos(−x) = cos x.
$f (x) = x^{4} - 3 x^{2}$
$f (- x) = x^{4} - 3 x^{2}$
Comparamos
f(−x) = f(x): la función es par. Su gráfico es simétrico respecto del eje y.
$f (- x) = f (x)$
Verificamos
Probamos con x = 2 y x = −2.
$f (2) \approx 4, f (- 2) \approx 4 ✓$

Resultado

Funci \overset{o}{ˊ} n par

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Ejemplo 4: ¿es inyectiva f(x) = x^2 - 4x?

Método: Contraejemplo

Planteamos
Una función es inyectiva si a valores distintos de x les corresponden imágenes distintas. Una forma de verlo: si siempre crece (o siempre decrece), es inyectiva.
$f (x) = x^{2} - 4 x$
$f^{'} (x) = 2 x - 4$
Miramos el signo de la derivada
La derivada cambia de signo: la función sube y baja (o baja y sube), así que repite valores.
$f^{'} (x) cambia de signo cerca de x \approx 2$
Verificamos con un contraejemplo
Encontramos dos valores distintos de x con la misma imagen.
$f (1) = - 3 y f (3) = - 3 ✓$

Resultado

No es inyectiva

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Ejemplo 5: f(x) = x^2 + 1, g(x) = 2x - 3, (f∘g)(x)

Método: Composición

Escribimos las funciones
En (f∘g)(x) = f(g(x)) primero se aplica g y al resultado se le aplica f.
$f (x) = x^{2} + 1$
$g (x) = 2 x - 3$
Reemplazamos x por g(x) en f
Donde dice x en f, ponemos toda la expresión de g(x) entre paréntesis.
$(f \circ g) (x) = (2 x - 3)^{2} + 1$
Simplificamos
Desarrollamos y juntamos términos semejantes.
$(f \circ g) (x) = 4 x^{2} - 12 x + 10$
Verificamos
Calculamos en x = 2 de las dos maneras: primero g(2) y después f de ese valor, y con la fórmula obtenida.
$f (g (2)) = f (1) = 2, (f \circ g) (2) = 2 ✓$

Resultado

(f \circ g) (x) = 4 x^{2} - 12 x + 10

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Ejemplo 6: inversa de f(x) = (2x + 3)/(x - 1)

Método: Despeje de la inversa

Planteamos y = f(x)
Para encontrar la inversa despejamos x en función de y y después intercambiamos los nombres de las variables.
$y = \frac{2 x + 3}{x - 1}$
Pasamos el denominador multiplicando
Multiplicamos los dos miembros por el denominador y juntamos los términos con x de un lado.
$y (x - 1) = 2 x + 3$
$1 x y - (2) x = 3 - (- 1) y$
$x (y - 2) = y + 3$
Intercambiamos x e y
Así queda la inversa escrita como función de x.
$f^{- 1} (x) = \frac{x + 3}{x - 2}$
Verificamos
Componiendo una función con su inversa tiene que volver x: f(f⁻¹(x)) = x. (En el gráfico, son simétricas respecto de la recta y = x.)
$f (f^{- 1} (3)) = f (6) = 3 ✓$
$f (f^{- 1} (0.5)) = f (- \frac{7}{3}) = \frac{1}{2} ✓$

Resultado

f^{- 1} (x) = \frac{x + 3}{x - 2}

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Ejemplo 7: ¿es función x^2 + y^2 = 4?

Método: Prueba de la recta vertical

Escribimos la relación
Una relación es función si a cada x le corresponde un único valor de y.
$x^{2} + y^{2} = 4$
Buscamos un x con dos valores de y
La y aparece con exponente 2: al despejar puede haber más de un valor. Probamos con x = 0.
$x = 0 \Rightarrow y = - 2 o y = 2$
Verificamos
Los dos puntos cumplen la relación: a un mismo x le corresponden dos y. No es función.
$(0; - 2) : 4 = 4 ✓$
$(0; 2) : 4 = 4 ✓$

Resultado

No es funci \overset{o}{ˊ} n

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Ejemplo 8: gráfica de f(x) = 1/(x - 2)

Método: Gráfica

Escribimos la función y su dominio
Antes de graficar conviene saber dónde existe.
$f (x) = \frac{1}{x - 2}$
$Dom f = R - {2}$
Buscamos los cortes con los ejes
Con el eje x: igualamos f(x) = 0. Con el eje y: calculamos f(0).
$No corta al eje x.$
$f (0) = - \frac{1}{2}$
Armamos una tabla de valores
Elegimos algunos valores de x, calculamos f(x) y ubicamos los puntos.
x f(x)
-3 $- \frac{1}{5}$
-2 $- \frac{1}{4}$
-1 $- \frac{1}{3}$
0 $- \frac{1}{2}$
1 $- 1$
3 $1$
Graficamos
Unimos los puntos respetando el dominio (las líneas punteadas son asíntotas verticales, si las hay).
Verificamos
Cada corte con el eje x tiene que dar f(x) = 0.
$f (1) \approx - 1 ✓$

x	f(x)
-3	$- \frac{1}{5}$
-2	$- \frac{1}{4}$
-1	$- \frac{1}{3}$
0	$- \frac{1}{2}$
1	$- 1$
3	$1$

Resultado

Dom f = R - {2}

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Ojo con…

El dominio excluye los valores que anulan denominadores y los que dejan negativo una raíz par.
Para la inversa, despejá x y después intercambiá x con y.

Relaciones y funciones: ejercicios resueltos paso a paso

Conceptos clave

Función inversa

Dominio

Sumas de Riemann

Máximos y mínimos

¿Para qué el gráfico?

Conjuntos

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: dominio de f(x) = √(4 - x^2)/(x - 1)

Escribimos la función

Buscamos las restricciones

Resolvemos cada condición

Probamos un valor en cada intervalo

Escribimos el dominio

Verificamos

Resultado

Ejemplo 2: imagen de f(x) = x^2 - 4x + 1

Escribimos la función y su dominio

Buscamos el valor extremo

Lo vemos en el gráfico

Verificamos

Resultado

Ejemplo 3: paridad de f(x) = x^4 - 3x^2

Calculamos f(−x)

Comparamos

Verificamos

Resultado

Ejemplo 4: ¿es inyectiva f(x) = x^2 - 4x?

Planteamos

Miramos el signo de la derivada

Verificamos con un contraejemplo

Resultado

Ejemplo 5: f(x) = x^2 + 1, g(x) = 2x - 3, (f∘g)(x)

Escribimos las funciones

Reemplazamos x por g(x) en f

Simplificamos

Verificamos

Resultado

Ejemplo 6: inversa de f(x) = (2x + 3)/(x - 1)

Planteamos y = f(x)

Pasamos el denominador multiplicando

Intercambiamos x e y

Verificamos

Resultado

Ejemplo 7: ¿es función x^2 + y^2 = 4?

Escribimos la relación

Buscamos un x con dos valores de y

Verificamos

Resultado

Ejemplo 8: gráfica de f(x) = 1/(x - 2)

Escribimos la función y su dominio

Buscamos los cortes con los ejes

Armamos una tabla de valores

Graficamos

Verificamos

Resultado

Ojo con…

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