Aplicaciones de la derivada: ejercicios resueltos paso a paso

La derivada segunda dice si la pendiente aumenta (curva como una taza, f″ > 0) o disminuye (como un techo, f″ < 0). Acá tenés 6 ejemplos resueltos, con cada paso explicado y verificado.

Conceptos clave

Concavidad

La derivada segunda dice si la pendiente aumenta (curva como una taza, f″ > 0) o disminuye (como un techo, f″ < 0).

f^{''} (x) > 0 \Rightarrow \cup, f^{''} (x) < 0 \Rightarrow \cap

Máximos y mínimos

Donde la función pasa de crecer a decrecer la tangente es horizontal (f′ = 0): ahí hay un máximo. Si pasa de decrecer a crecer, un mínimo.

f^{'} (x) = 0 y cambio de signo de f^{'}

Velocidad y aceleración

La velocidad es cuánto cambia la posición por unidad de tiempo (la derivada); la aceleración, cuánto cambia la velocidad.

v = s^{'} (t), a = v^{'} (t) = s^{''} (t)

Pendiente

La pendiente mide cuánto sube (o baja) la recta por cada unidad que avanzamos en x: es el cociente entre la variación de y y la de x.

m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}

¿Para qué el gráfico?

Ver el problema dibujado ayuda a entenderlo y a controlar el resultado: si la cuenta dice una cosa y el dibujo muestra otra, algo anda mal.

dibujo \approx cuenta

Recta tangente

La tangente toca a la curva en un solo punto de esa zona y tiene su misma inclinación: su pendiente es la derivada en ese punto (en una circunferencia, es perpendicular al radio).

y - f (a) = f^{'} (a) (x - a)

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: recta tangente y normal a f(x) = √x en x = 4

Método: Rectas tangente y normal

Calculamos el punto de tangencia
Reemplazamos x en la función para saber la altura del punto.
$f (4) = 2 \Rightarrow P = (4; 2)$
Calculamos la pendiente
La pendiente de la recta tangente es la derivada en ese punto.
$f^{'} (x) = \frac{1}{2 x}$
$m = f^{'} (4) = \frac{1}{4}$
Escribimos la recta tangente
Usamos la ecuación de la recta que pasa por un punto con pendiente m: y − y₀ = m(x − x₀).
$y - (2) = \frac{1}{4} (x - (4))$
$y = \frac{1}{4} x + 1$
Escribimos la recta normal
La normal es perpendicular a la tangente: su pendiente es −1/m.
$y = - 4 x + 18$
Lo vemos en el gráfico
La recta toca a la curva en el punto y tiene su misma inclinación ahí.
Verificamos
El punto tiene que cumplir la ecuación de la recta y la pendiente tiene que coincidir con la de la curva.
$x = 4 : y = 2 = f (4) ✓$
$pendiente de la curva \approx 0, 25 ✓$

Resultado

y = \frac{1}{4} x + 1, normal: y = - 4 x + 18

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Ejemplo 2: máximos y mínimos de f(x) = x^3 - 3x

Método: Monotonía y extremos

Escribimos la función y su dominio
Para estudiar la función usamos la primera derivada (crecimiento y extremos) y la segunda (concavidad e inflexión).
$f (x) = x^{3} - 3 x$
$Dom f = R$
Calculamos la derivada y los puntos críticos
Los puntos críticos son los x del dominio donde f'(x) = 0. Ahí la función puede tener máximos o mínimos.
$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3$
$f^{'} (x) = 0 \Rightarrow x = - 1, 1$
Armamos la tabla de signos de f'
Si f' > 0 la función crece; si f' < 0, decrece. Probamos un valor en cada intervalo.
Intervalo Prueba Signo de f' f
$(- \infty, - 1)$ $x = - 2$ + crece ↗
$(- 1, 1)$ $x = 0$ − decrece ↘
$(1, + \infty)$ $x = 2$ + crece ↗
Leemos crecimiento y extremos
Donde la función pasa de crecer a decrecer hay un máximo; donde pasa de decrecer a crecer, un mínimo.
$crece en (- \infty, - 1) \cup (1, + \infty)$
$decrece en (- 1, 1)$
$m \overset{a}{ˊ} ximo relativo en (- 1; 2)$
$m \overset{ı}{ˊ} nimo relativo en (1; - 2)$
Verificamos
En cada punto crítico la derivada tiene que valer 0.
$f^{'} (- 1) \approx 0 ✓$
$f^{'} (1) \approx 0 ✓$
Lo vemos en el gráfico
Marcamos los puntos importantes sobre la curva.

Intervalo	Prueba	Signo de f'	f
$(- \infty, - 1)$	$x = - 2$	+	crece ↗
$(- 1, 1)$	$x = 0$	−	decrece ↘
$(1, + \infty)$	$x = 2$	+	crece ↗

Resultado

m \overset{a}{ˊ} ximo en x = - 1, m \overset{ı}{ˊ} nimo en x = 1

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Ejemplo 3: concavidad y puntos de inflexión de f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x

Método: Concavidad e inflexión

Escribimos la función y su dominio
Para estudiar la función usamos la primera derivada (crecimiento y extremos) y la segunda (concavidad e inflexión).
$f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x$
$Dom f = R$
Calculamos la derivada segunda
Los posibles puntos de inflexión son donde f''(x) = 0.
$f^{''} (x) = 6 x - 12$
$f^{''} (x) = 0 \Rightarrow x = 2$
Armamos la tabla de signos de f''
Si f'' > 0 la curva es cóncava hacia arriba (como una taza); si f'' < 0, hacia abajo.
Intervalo Prueba Signo de f'' Concavidad
$(- \infty, 2)$ $x = 1$ − cóncava hacia abajo ∩
$(2, + \infty)$ $x = 3$ + cóncava hacia arriba ∪
Leemos concavidad e inflexión
Un punto de inflexión es donde cambia la concavidad.
$\cup en (2, + \infty)$
$\cap en (- \infty, 2)$
$inflexi \overset{o}{ˊ} n en (2; 2)$
Verificamos
En cada punto de inflexión la derivada segunda vale 0 y cambia de signo.
$f^{''} (2) \approx 0 ✓$
Lo vemos en el gráfico
Marcamos los puntos importantes sobre la curva.

Intervalo	Prueba	Signo de f''	Concavidad
$(- \infty, 2)$	$x = 1$	−	cóncava hacia abajo ∩
$(2, + \infty)$	$x = 3$	+	cóncava hacia arriba ∪

Resultado

inflexi \overset{o}{ˊ} n en x = 2

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Ejemplo 4: estudio completo de f(x) = x^4 - 4x^3

Método: Estudio completo

Escribimos la función y su dominio
Para estudiar la función usamos la primera derivada (crecimiento y extremos) y la segunda (concavidad e inflexión).
$f (x) = x^{4} - 4 x^{3}$
$Dom f = R$
Calculamos la derivada y los puntos críticos
Los puntos críticos son los x del dominio donde f'(x) = 0. Ahí la función puede tener máximos o mínimos.
$f^{'} (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2}$
$f^{'} (x) = 0 \Rightarrow x = 0, 3$
Armamos la tabla de signos de f'
Si f' > 0 la función crece; si f' < 0, decrece. Probamos un valor en cada intervalo.
Intervalo Prueba Signo de f' f
$(- \infty, 0)$ $x = - 1$ − decrece ↘
$(0, 3)$ $x = 1, 5$ − decrece ↘
$(3, + \infty)$ $x = 4$ + crece ↗
Leemos crecimiento y extremos
Donde la función pasa de crecer a decrecer hay un máximo; donde pasa de decrecer a crecer, un mínimo.
$crece en (3, + \infty)$
$decrece en (- \infty, 0) \cup (0, 3)$
$m \overset{ı}{ˊ} nimo relativo en (3; - 27)$
Verificamos
En cada punto crítico la derivada tiene que valer 0.
$f^{'} (0) \approx 0 ✓$
$f^{'} (3) \approx 0 ✓$
Calculamos la derivada segunda
Los posibles puntos de inflexión son donde f''(x) = 0.
$f^{''} (x) = 12 x^{2} - 24 x$
$f^{''} (x) = 0 \Rightarrow x = 0, 2$
Armamos la tabla de signos de f''
Si f'' > 0 la curva es cóncava hacia arriba (como una taza); si f'' < 0, hacia abajo.
Intervalo Prueba Signo de f'' Concavidad
$(- \infty, 0)$ $x = - 1$ + cóncava hacia arriba ∪
$(0, 2)$ $x = 1$ − cóncava hacia abajo ∩
$(2, + \infty)$ $x = 3$ + cóncava hacia arriba ∪
Leemos concavidad e inflexión
Un punto de inflexión es donde cambia la concavidad.
$\cup en (- \infty, 0) \cup (2, + \infty)$
$\cap en (0, 2)$
$inflexi \overset{o}{ˊ} n en (0; 0)$
$inflexi \overset{o}{ˊ} n en (2; - 16)$
Verificamos
En cada punto de inflexión la derivada segunda vale 0 y cambia de signo.
$f^{''} (0) \approx 0 ✓$
$f^{''} (2) \approx 0 ✓$
Lo vemos en el gráfico
Marcamos los puntos importantes sobre la curva.

Intervalo	Prueba	Signo de f'	f
$(- \infty, 0)$	$x = - 1$	−	decrece ↘
$(0, 3)$	$x = 1, 5$	−	decrece ↘
$(3, + \infty)$	$x = 4$	+	crece ↗

Intervalo	Prueba	Signo de f''	Concavidad
$(- \infty, 0)$	$x = - 1$	+	cóncava hacia arriba ∪
$(0, 2)$	$x = 1$	−	cóncava hacia abajo ∩
$(2, + \infty)$	$x = 3$	+	cóncava hacia arriba ∪

Resultado

m \overset{ı}{ˊ} nimo en x = 3, inflexi \overset{o}{ˊ} n en x = 0, 2

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Ejemplo 5: posición s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t, velocidad y aceleración en t = 2

Método: Velocidad y aceleración

Escribimos la posición
La velocidad es la derivada de la posición y la aceleración es la derivada de la velocidad.
$s (t) = t^{3} - 6 t^{2} + 9 t$
Calculamos la velocidad
Derivamos la posición.
$v (t) = s^{'} (t) = 3 t^{2} - 12 t + 9$
Calculamos la aceleración
Derivamos la velocidad.
$a (t) = v^{'} (t) = 6 t - 12$
Evaluamos en el instante pedido
Reemplazamos el valor de t en cada fórmula.
$v (2) = - 3$
$a (2) = 0$
Instantes en reposo
El móvil está quieto cuando la velocidad vale 0 (ahí puede cambiar de sentido).
$v (t) = 0 \Rightarrow t = 1, 3$
Verificamos
Calculamos velocidad y aceleración con cocientes incrementales en t = 2.
$v \approx - 3, a \approx - 7, 1054 \cdot 1 0^{- 9} ✓$

Resultado

v (t) = 3 t^{2} - 12 t + 9, a (t) = 6 t - 12, v (2) = - 3, a (2) = 0

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Ejemplo 6: aproximar √4,1 usando la recta tangente

Método: Aproximación lineal (diferencial)

Elegimos la función y un punto cercano
Buscamos un punto a cerca del valor pedido donde la función se calcule fácil (por ejemplo, un cuadrado perfecto para una raíz).
$f (x) = x$
$a = 4, Δ x = 4, 1 - (4) = \frac{1}{10}$
Calculamos f(a) y f'(a)
Necesitamos el valor de la función y de su derivada en el punto.
$f (4) = 2$
$f^{'} (x) = \frac{1}{2 x} \Rightarrow f^{'} (4) = \frac{1}{4}$
Usamos la recta tangente (linealización)
Cerca de a, la función se parece a su recta tangente: f(a + Δx) ≈ f(a) + f'(a)·Δx. El término f'(a)·Δx es el diferencial dy.
$d y = f^{'} (4) \cdot Δ x = \frac{1}{4} \cdot (\frac{1}{10}) = \frac{1}{40}$
$f (4, 1) \approx 2 + (\frac{1}{40}) = \frac{81}{40} \approx 2, 025$
Verificamos
Comparamos con el valor que da la calculadora: el error tiene que ser chico.
$f (4, 1) \approx 2, 024846, error \approx 0, 000154 ✓$

Resultado

f (4, 1) \approx 2, 025

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Ojo con…

f′(x) = 0 no garantiza un extremo: hay que ver si la derivada cambia de signo.
Para la recta tangente necesitás el punto y la pendiente en ese punto.

Aplicaciones de la derivada: ejercicios resueltos paso a paso

Conceptos clave

Concavidad

Máximos y mínimos

Velocidad y aceleración

Pendiente

¿Para qué el gráfico?

Recta tangente

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: recta tangente y normal a f(x) = √x en x = 4

Calculamos el punto de tangencia

Calculamos la pendiente

Escribimos la recta tangente

Escribimos la recta normal

Lo vemos en el gráfico

Verificamos

Resultado

Ejemplo 2: máximos y mínimos de f(x) = x^3 - 3x

Escribimos la función y su dominio

Calculamos la derivada y los puntos críticos

Armamos la tabla de signos de f'

Leemos crecimiento y extremos

Verificamos

Lo vemos en el gráfico

Resultado

Ejemplo 3: concavidad y puntos de inflexión de f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x

Escribimos la función y su dominio

Calculamos la derivada segunda

Armamos la tabla de signos de f''

Leemos concavidad e inflexión

Verificamos

Lo vemos en el gráfico

Resultado

Ejemplo 4: estudio completo de f(x) = x^4 - 4x^3

Escribimos la función y su dominio

Calculamos la derivada y los puntos críticos

Armamos la tabla de signos de f'

Leemos crecimiento y extremos

Verificamos

Calculamos la derivada segunda

Armamos la tabla de signos de f''

Leemos concavidad e inflexión

Verificamos

Lo vemos en el gráfico

Resultado

Ejemplo 5: posición s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t, velocidad y aceleración en t = 2

Escribimos la posición

Calculamos la velocidad

Calculamos la aceleración

Evaluamos en el instante pedido

Instantes en reposo

Verificamos

Resultado

Ejemplo 6: aproximar √4,1 usando la recta tangente

Elegimos la función y un punto cercano

Calculamos f(a) y f'(a)

Usamos la recta tangente (linealización)

Verificamos

Resultado

Ojo con…

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