Intuitivamente, una función es continua si se puede dibujar sin levantar el lápiz: existe f(a), existe el límite y coinciden. Acá tenés 4 ejemplos resueltos, con cada paso explicado y verificado.
Intuitivamente, una función es continua si se puede dibujar sin levantar el lápiz: existe f(a), existe el límite y coinciden.
Son los valores de x donde la fórmula tiene sentido: no se puede dividir por 0, ni sacar raíz par de un negativo, ni logaritmo de algo que no sea positivo.
El logaritmo responde: ¿a qué exponente hay que elevar la base para obtener el número? Sus propiedades convierten productos en sumas y potencias en productos.
La ecuación es una igualdad que dice lo mismo que el enunciado, pero con símbolos. Una vez planteada, se resuelve como cualquier ecuación.
La longitud de la circunferencia es 2πr y el área del círculo πr². Un sector es una parte proporcional a su ángulo central.
Método: Función partida
Cada fórmula vale solo en su tramo. En el punto donde cambia de fórmula hay que mirar los dos lados.
Una función es continua en x = a si: 1) existe f(a); 2) existe el límite (los laterales coinciden); 3) el límite es igual a f(a).
Es continua en x = 1.
Calculamos la función muy cerca del punto, de cada lado.
Método: Igualar límites laterales
Cada fórmula vale solo en su tramo. En el punto donde cambia de fórmula hay que mirar los dos lados.
Para que sea continua en x = 2, los dos límites laterales tienen que ser iguales (y coincidir con f(a)).
Planteamos la ecuación entre los dos límites.
Con k = \frac{3}{2} los dos límites laterales dan lo mismo.
Método: Tres condiciones de continuidad
Las funciones elementales (polinomios, racionales, raíces, exponenciales, logaritmos, trigonométricas) son continuas en todo su dominio. Hay que mirar los puntos que quedan afuera.
Una función es continua en x = a si: 1) existe f(a); 2) existe el límite (los laterales coinciden); 3) el límite es igual a f(a).
Una función es continua en x = a si: 1) existe f(a); 2) existe el límite (los laterales coinciden); 3) el límite es igual a f(a).
Si redefinimos la función en ese punto con el valor del límite, queda continua.
Las líneas punteadas marcan asíntotas verticales y los círculos huecos, puntos que faltan.
Calculamos la función muy cerca del punto, de cada lado.
Método: Continuidad en un intervalo
Las funciones elementales (polinomios, racionales, raíces, exponenciales, logaritmos, trigonométricas) son continuas en todo su dominio. Hay que mirar los puntos que quedan afuera.
Es continua en [a; b] si es continua en cada punto de adentro, continua por la derecha en a y por la izquierda en b.
Revisamos los extremos con límites laterales.