Límites: ejercicios resueltos paso a paso

0/0 no es un número: indica que hay que transformar la expresión (factorizar, racionalizar…) para ver a qué valor se acerca. Acá tenés 7 ejemplos resueltos, con cada paso explicado y verificado.

Conceptos clave

Indeterminación

0/0 no es un número: indica que hay que transformar la expresión (factorizar, racionalizar…) para ver a qué valor se acerca.

\frac{x ^{2} - 4}{x - 2} = \frac{( x - 2 ) ( x + 2 )}{x - 2} = x + 2

Máximos y mínimos

Donde la función pasa de crecer a decrecer la tangente es horizontal (f′ = 0): ahí hay un máximo. Si pasa de decrecer a crecer, un mínimo.

f^{'} (x) = 0 y cambio de signo de f^{'}

Continuidad

Intuitivamente, una función es continua si se puede dibujar sin levantar el lápiz: existe f(a), existe el límite y coinciden.

x \to a lim f (x) = f (a)

Complejos en forma polar

Un complejo se puede ver como un punto del plano: su módulo es la distancia al origen y su argumento, el ángulo. Al multiplicar se multiplican los módulos y se suman los argumentos.

z^{n} = r^{n} (cos n θ + i sen n θ)

Ángulos notables

Los valores de 30°, 45° y 60° salen de un triángulo equilátero partido al medio y de un cuadrado cortado por su diagonal.

sen 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}, cos 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}, tg 6 0^{\circ} = 3

Definición de derivada

La derivada es la pendiente de la recta tangente: el límite de las pendientes de rectas secantes cuando los puntos se acercan.

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: lim x→2 (x^2 - 4)/(x - 2)

Método: Factorización

Escribimos el límite
Buscamos a qué valor se acerca la función cuando x se acerca al punto.
$x \to 2 lim \frac{x ^{2} - 4}{x - 2}$
Reemplazamos
Al reemplazar queda 0/0: es una indeterminación. Hay que transformar la expresión.
$\frac{( 2 ) ^{2} - 4}{( 2 ) - 2} = \frac{0}{0}$
Factorizamos y simplificamos
Como a = 2 anula numerador y denominador, los dos son divisibles por (x-2) (lo vemos con Ruffini). Simplificamos ese factor, que no vale 0 cerca del punto.
$\frac{( x - 2 ) ( x + 2 )}{( x - 2 ) ( 1 )} = x + 2$
Reemplazamos directamente
Si la función está definida y es continua en el punto, el límite es el valor de la función.
$(2) + 2 = 4$
Verificamos con una tabla
Calculamos la función en valores cada vez más cercanos: tienen que acercarse al resultado.
$los valores se acercan a 4 ✓$
x f(x)
1,9 3,9
1,99 3,99
1,999 3,999
1,9999 3,9999
2,0001 4,0001
2,001 4,001
2,01 4,01
2,1 4,1

x	f(x)
1,9	3,9
1,99	3,99
1,999	3,999
1,9999	3,9999
2,0001	4,0001
2,001	4,001
2,01	4,01
2,1	4,1

Resultado

x \to 2 lim \frac{x ^{2} - 4}{x - 2} = 4

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Ejemplo 2: lim x→∞ (3x^2 + 1)/(x^2 - 5)

Método: Cálculo de límites

Escribimos el límite
Buscamos a qué valor se acerca la función cuando x crece (o decrece) sin límite.
$x \to + \infty lim \frac{3 x ^{2} + 1}{x ^{2} - 5}$
Dividimos por la mayor potencia
Es una indeterminación ∞/∞. Dividimos numerador y denominador por x^2: los términos con x en el denominador tienden a 0.
$\frac{3 x ^{2} + 1}{x ^{2} - 5}$
Comparamos los grados
Numerador y denominador tienen el mismo grado: el límite es el cociente de los coeficientes principales.
$\frac{3}{1} = 3$
Verificamos con una tabla
Calculamos la función en valores cada vez más cercanos: tienen que acercarse al resultado.
$los valores se acercan a 3 ✓$
x f(x)
10 3,168421
100 3,001601
1000 3,000016
10000 3

x	f(x)
10	3,168421
100	3,001601
1000	3,000016
10000	3

Resultado

x \to + \infty lim \frac{3 x ^{2} + 1}{x ^{2} - 5} = 3

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Ejemplo 3: lim x→3 (√(x + 1) - 2)/(x - 3)

Método: Conjugado

Escribimos el límite
Buscamos a qué valor se acerca la función cuando x se acerca al punto.
$x \to 3 lim \frac{x + 1 - 2}{x - 3}$
Reemplazamos
Al reemplazar queda 0/0: es una indeterminación. Hay que transformar la expresión.
$\frac{( 3 ) + 1 - 2}{( 3 ) - 3} = \frac{0}{0}$
Multiplicamos por el conjugado
Multiplicamos arriba y abajo por el conjugado de la expresión con raíz, para usar (A − B)(A + B) = A² − B² y que desaparezca la raíz.
$x + 1 - 2 \cdot (x + 1 + 2) = x - 3$
$simplificamos (x - 3) : \frac{1}{x + 1 + 2}$
Reemplazamos directamente
Si la función está definida y es continua en el punto, el límite es el valor de la función.
$\frac{1}{( 3 ) + 1 + 2} = \frac{1}{4}$
Verificamos con una tabla
Calculamos la función en valores cada vez más cercanos: tienen que acercarse al resultado.
$los valores se acercan a \frac{1}{4} ✓$
x f(x)
2,9 0,251582
2,99 0,250156
2,999 0,250016
2,9999 0,250002
3,0001 0,249998
3,001 0,249984
3,01 0,249844
3,1 0,248457

x	f(x)
2,9	0,251582
2,99	0,250156
2,999	0,250016
2,9999	0,250002
3,0001	0,249998
3,001	0,249984
3,01	0,249844
3,1	0,248457

Resultado

x \to 3 lim \frac{x + 1 - 2}{x - 3} = \frac{1}{4}

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Ejemplo 4: lim x→0 sen(3x)/x

Método: Cálculo de límites

Escribimos el límite
Buscamos a qué valor se acerca la función cuando x se acerca al punto.
$x \to 0 lim \frac{sen ( 3 x )}{x}$
Reemplazamos
Al reemplazar queda 0/0: es una indeterminación. Hay que transformar la expresión.
$\frac{sen ( 3 \cdot ( 0 ) )}{( 0 )} = \frac{0}{0}$
Usamos el límite fundamental
Usamos $lim_{u \to 0} \frac{sen u}{u} = 1$ : multiplicamos y dividimos para que quede el mismo argumento abajo.
$\frac{sen ( 3 x )}{x} = 3 \cdot \frac{sen ( 3 x )}{3 x} \to 3 \cdot 1$
Verificamos con una tabla
Calculamos la función en valores cada vez más cercanos: tienen que acercarse al resultado.
$los valores se acercan a 3 ✓$
x f(x)
-0,1 2,955202
-0,01 2,99955
-0,001 2,999996
-0,0001 3
0,0001 3
0,001 2,999996
0,01 2,99955
0,1 2,955202

x	f(x)
-0,1	2,955202
-0,01	2,99955
-0,001	2,999996
-0,0001	3
0,0001	3
0,001	2,999996
0,01	2,99955
0,1	2,955202

Resultado

x \to 0 lim \frac{sen ( 3 x )}{x} = 3

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Ejemplo 5: lim x→2+ 1/(x - 2)

Método: Cálculo de límites

Escribimos el límite
Buscamos a qué valor se acerca la función cuando x se acerca al punto por la derecha (valores mayores).
$x \to 2^{+} lim \frac{1}{x - 2}$
Reemplazamos
El numerador no se anula y el denominador sí: la función crece sin límite. Para saber el signo miramos los límites laterales.
$\frac{1}{0}$
$x \to a^{-} lim = - \infty, x \to a^{+} lim = + \infty$
Verificamos con una tabla
Calculamos la función en valores cada vez más cercanos: tienen que acercarse al resultado.
$los valores se acercan a + \infty ✓$
x f(x)
2,0001 10000
2,001 1000
2,01 100
2,1 10

x	f(x)
2,0001	10000
2,001	1000
2,01	100
2,1	10

Resultado

x \to 2^{+} lim \frac{1}{x - 2} = + \infty

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Ejemplo 6: lim x→∞ (1 + 1/x)^x

Método: Cálculo de límites

Escribimos el límite
Buscamos a qué valor se acerca la función cuando x crece (o decrece) sin límite.
$x \to + \infty lim (\frac{1}{x} + 1)^{x}$
Reconocemos el límite del número e
Es una indeterminación 1^∞. Usamos el límite notable $lim_{x \to \infty} (1 + \frac{k}{x})^{x} = e^{k}$ .
$lim = e$
Verificamos con una tabla
Calculamos la función en valores cada vez más cercanos: tienen que acercarse al resultado.
$los valores se acercan a e ✓$
x f(x)
10 2,593742
100 2,704814
1000 2,716924
10000 2,718146

x	f(x)
10	2,593742
100	2,704814
1000	2,716924
10000	2,718146

Resultado

x \to + \infty lim (\frac{1}{x} + 1)^{x} = e

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Ejemplo 7: demostrar que lim x→2 (3x - 1) = 5

Método: Definición ε-δ

Escribimos la definición
Hay que probar que para cada ε > 0 existe un δ > 0 tal que si 0 < |x − a| < δ, entonces |f(x) − L| < ε.
$\forall ε > 0 \exists δ > 0 : 0 < ∣ x - (2) ∣ < δ \Rightarrow ∣3 x - 1 - (5) ∣ < ε$
Factorizamos |f(x) − L|
Como f(a) = L, la expresión f(x) − L tiene el factor (x − a).
$∣ f (x) - L ∣ = ∣3 x - 6∣ = ∣ x - (2) ∣ \cdot ∣3∣$
Elegimos δ
El otro factor es una constante: alcanza con tomar δ = ε dividido esa constante.
$∣ f (x) - L ∣ = 3 ∣ x - (2) ∣ < 3 δ = ε \Rightarrow δ = \frac{ε}{3}$
Verificamos
Probamos con ε = 0,01: δ = 0,003333. Tomamos un x a menos de δ del punto y miramos la distancia a L.
$x = 2, 003 : ∣ f (x) - L ∣ \approx 0, 009 < 0, 01 ✓$

Resultado

δ = \frac{ε}{3}

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Ojo con…

0/0 no significa que el límite no exista: hay que transformar la expresión.
Si los límites laterales dan distinto, el límite no existe.

Límites: ejercicios resueltos paso a paso

Conceptos clave

Indeterminación

Máximos y mínimos

Continuidad

Complejos en forma polar

Ángulos notables

Definición de derivada

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: lim x→2 (x^2 - 4)/(x - 2)

Escribimos el límite

Reemplazamos

Factorizamos y simplificamos

Reemplazamos directamente

Verificamos con una tabla

Resultado

Ejemplo 2: lim x→∞ (3x^2 + 1)/(x^2 - 5)

Escribimos el límite

Dividimos por la mayor potencia

Comparamos los grados

Verificamos con una tabla

Resultado

Ejemplo 3: lim x→3 (√(x + 1) - 2)/(x - 3)

Escribimos el límite

Reemplazamos

Multiplicamos por el conjugado

Reemplazamos directamente

Verificamos con una tabla

Resultado

Ejemplo 4: lim x→0 sen(3x)/x

Escribimos el límite

Reemplazamos

Usamos el límite fundamental

Verificamos con una tabla

Resultado

Ejemplo 5: lim x→2+ 1/(x - 2)

Escribimos el límite

Reemplazamos

Verificamos con una tabla

Resultado

Ejemplo 6: lim x→∞ (1 + 1/x)^x

Escribimos el límite

Reconocemos el límite del número e

Verificamos con una tabla

Resultado

Ejemplo 7: demostrar que lim x→2 (3x - 1) = 5

Escribimos la definición

Factorizamos |f(x) − L|

Elegimos δ

Verificamos

Resultado

Ojo con…

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