La derivada: ejercicios resueltos paso a paso

La derivada es la pendiente de la recta tangente: el límite de las pendientes de rectas secantes cuando los puntos se acercan. Acá tenés 7 ejemplos resueltos, con cada paso explicado y verificado.

Conceptos clave

Definición de derivada

La derivada es la pendiente de la recta tangente: el límite de las pendientes de rectas secantes cuando los puntos se acercan.

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}

Regla de la cadena

Para derivar una función “dentro” de otra, derivamos la de afuera (sin tocar lo de adentro) y multiplicamos por la derivada de lo de adentro.

[sen (3 x)]^{'} = cos (3 x) \cdot 3

Regla del producto

Si dos funciones cambian a la vez, el cambio del producto es: cambia la primera con la segunda quieta, más la primera quieta con el cambio de la segunda.

(u \cdot v)^{'} = u^{'} v + u v^{'}

Regla del cociente

Se deduce de la regla del producto escribiendo u/v = u · v⁻¹. El denominador queda al cuadrado.

(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}

Pasar al límite

Después de simplificar, los términos que tienen h (o 1/n) se hacen tan chicos como queramos: en el límite valen 0.

h \to 0 lim (2 x + h) = 2 x

Pendiente

La pendiente mide cuánto sube (o baja) la recta por cada unidad que avanzamos en x: es el cociente entre la variación de y y la de x.

m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: derivada de sen(2x)·e^x

Método: Regla del producto

Escribimos la función
Buscamos la regla que corresponde a la forma de la función.
$f (x) = e^{x} \cdot sen (2 x)$
Usamos la regla del producto
$(u \cdot v)^{'} = u^{'} \cdot v + u \cdot v^{'}$ .
$u = e^{x}, u^{'} = e^{x} (derivada de la exponencial de base e)$
$v = sen (2 x), v^{'} = 2 cos (2 x) (derivada de sen + regla de la cadena)$
Simplificamos
Juntamos y ordenamos el resultado.
$f^{'} (x) = e^{x} \cdot sen (2 x) + 2 e^{x} \cdot cos (2 x)$
Verificamos
Comparamos con el cociente incremental $\frac{f ( x + h ) - f ( x - h )}{2 h}$ con h muy chico, en x = 0,7.
$x = 0, 7 : f \overset{o}{ˊ} rmula \approx 2, 668996, cociente \approx 2, 668996 ✓$

Resultado

f^{'} (x) = e^{x} \cdot sen (2 x) + 2 e^{x} \cdot cos (2 x)

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Ejemplo 2: derivada de (2x + 3)/(x - 1)

Método: Regla del cociente

Escribimos la función
Buscamos la regla que corresponde a la forma de la función.
$f (x) = \frac{2 x + 3}{x - 1}$
Usamos la regla del cociente
$(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} \cdot v - u \cdot v ^{'}}{v ^{2}}$ .
$u = 2 x + 3, u^{'} = 2$
$v = x - 1, v^{'} = 1$
$f^{'} (x) = \frac{( 2 ) \cdot ( x - 1 ) - ( 2 x + 3 ) \cdot ( 1 )}{( x - 1 ) ^{2}}$
Simplificamos
Juntamos y ordenamos el resultado.
$f^{'} (x) = - \frac{5}{( x - 1 ) ^{2}}$
Verificamos
Comparamos con el cociente incremental $\frac{f ( x + h ) - f ( x - h )}{2 h}$ con h muy chico, en x = 0,7.
$x = 0, 7 : f \overset{o}{ˊ} rmula \approx - 55, 555556, cociente \approx - 55, 555556 ✓$

Resultado

f^{'} (x) = - \frac{5}{( x - 1 ) ^{2}}

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Ejemplo 3: derivada de arctg(3x)

Método: Derivada de arctg + regla de la cadena

Escribimos la función
Buscamos la regla que corresponde a la forma de la función.
$f (x) = arctg (3 x)$
Usamos la tabla de derivadas y la regla de la cadena
Derivamos la función de afuera (dejando igual lo de adentro) y multiplicamos por la derivada de lo de adentro.
$(arctg u)^{'} = \frac{u ^{'}}{1 + u ^{2}}$
$u = 3 x, u^{'} = 3$
Simplificamos
Juntamos y ordenamos el resultado.
$f^{'} (x) = \frac{3}{9 x ^{2} + 1}$
Verificamos
Comparamos con el cociente incremental $\frac{f ( x + h ) - f ( x - h )}{2 h}$ con h muy chico, en x = 0,7.
$x = 0, 7 : f \overset{o}{ˊ} rmula \approx 0, 554529, cociente \approx 0, 554529 ✓$

Resultado

f^{'} (x) = \frac{3}{9 x ^{2} + 1}

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Ejemplo 4: derivada por definición de f(x) = x^2 + 3x

Método: Definición (cociente incremental)

Escribimos la definición
La derivada es el límite del cociente incremental cuando h tiende a 0.
$f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}$
Calculamos f(x + h)
Reemplazamos x por (x + h) y desarrollamos.
$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 3 h + 3 x$
Restamos f(x)
Los términos que no tienen h se cancelan.
$f (x + h) - f (x) = h^{2} + 2 h x + 3 h$
Dividimos por h
Todos los términos tienen h: simplificamos.
$\frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h} = h + 2 x + 3$
Hacemos tender h a 0
Los términos que todavía tienen h se anulan.
$f^{'} (x) = 2 x + 3$
Verificamos
Comparamos con el cociente incremental $\frac{f ( x + h ) - f ( x - h )}{2 h}$ con h muy chico, en x = 0,7.
$x = 0, 7 : f \overset{o}{ˊ} rmula \approx 4, 4, cociente \approx 4, 4 ✓$

Resultado

f^{'} (x) = 2 x + 3

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Ejemplo 5: derivada implícita de x^2 + y^2 = 25

Método: Derivación implícita

Escribimos la ecuación
En una función implícita y depende de x, pero no está despejada. Derivamos los dos miembros respecto de x, pensando y = y(x).
$x^{2} + y^{2} = 25$
Derivamos los dos miembros
Cada vez que derivamos algo con y, por la regla de la cadena aparece multiplicado por y'.
$2 x + (2 y) y^{'} = 0$
Despejamos y'
Juntamos los términos con y' de un lado y sacamos factor común.
$(2 y) y^{'} = - 2 x$
$y^{'} = - \frac{x}{y}$
Verificamos
Tomamos un punto de la curva (x = 1, y ≈ 4,899) y comparamos la pendiente de la fórmula con la que se obtiene moviéndose un poquito sobre la curva.
$y^{'} \approx - 0, 204124 y \frac{Δ y}{Δ x} \approx - 0, 204125 ✓$

Resultado

y^{'} = - \frac{x}{y}

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Ejemplo 6: derivada segunda de f(x) = x^4 - 2x^3

Método: Derivada de orden 2

Escribimos la función
Vamos a derivar 2 veces: cada derivada se calcula a partir de la anterior.
$f (x) = x^{4} - 2 x^{3}$
Derivamos término a término
La derivada de una suma (o resta) es la suma de las derivadas.
$\frac{d}{d x} [x^{4}] = 4 x^{3} (regla de la potencia)$
$\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] = - 6 x^{2} (constante por funci \overset{o}{ˊ} n)$
Simplificamos
Juntamos y ordenamos el resultado.
$f^{'} (x) = 4 x^{3} - 6 x^{2}$
Derivada de orden 2
Derivamos f'(x) (derivada de una suma).
$f^{''} (x) = 12 x^{2} - 12 x$
Verificamos
Comparamos con el cociente incremental $\frac{f ( x + h ) - f ( x - h )}{2 h}$ con h muy chico, en x = 0,7.
$x = 0, 7 : f \overset{o}{ˊ} rmula \approx - 2, 52, cociente \approx - 2, 52 ✓$

Resultado

f^{''} (x) = 12 x^{2} - 12 x

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Ejemplo 7: derivada de f(x) = x^3 en x = 2

Método: Regla de la potencia

Escribimos la función
Buscamos la regla que corresponde a la forma de la función.
$f (x) = x^{3}$
Usamos la regla de la potencia
$(u^{n})^{'} = n \cdot u^{n - 1} \cdot u^{'}$ : bajamos el exponente, le restamos 1 y multiplicamos por la derivada de lo de adentro.
$\frac{d}{d x} [x^{3}] = 3 \cdot x^{2}$
Simplificamos
Juntamos y ordenamos el resultado.
$f^{'} (x) = 3 x^{2}$
Evaluamos en el punto
Reemplazamos en la derivada.
$f^{'} (2) = 3 \cdot (2)^{2} = 12$
Verificamos
Comparamos con el cociente incremental $\frac{f ( x + h ) - f ( x - h )}{2 h}$ con h muy chico, en x = 0,7.
$x = 0, 7 : f \overset{o}{ˊ} rmula \approx 1, 47, cociente \approx 1, 47 ✓$

Resultado

f^{'} (x) = 3 x^{2}, f^{'} (2) = 12

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Ojo con…

No te olvides de la regla de la cadena: multiplicá por la derivada de lo de adentro.
En el cociente el orden importa: u′v − uv′ arriba, no al revés.
La derivada de una constante es 0.

La derivada: ejercicios resueltos paso a paso

Conceptos clave

Definición de derivada

Regla de la cadena

Regla del producto

Regla del cociente

Pasar al límite

Pendiente

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: derivada de sen(2x)·e^x

Escribimos la función

Usamos la regla del producto

Simplificamos

Verificamos

Resultado

Ejemplo 2: derivada de (2x + 3)/(x - 1)

Escribimos la función

Usamos la regla del cociente

Simplificamos

Verificamos

Resultado

Ejemplo 3: derivada de arctg(3x)

Escribimos la función

Usamos la tabla de derivadas y la regla de la cadena

Simplificamos

Verificamos

Resultado

Ejemplo 4: derivada por definición de f(x) = x^2 + 3x

Escribimos la definición

Calculamos f(x + h)

Restamos f(x)

Dividimos por h

Hacemos tender h a 0

Verificamos

Resultado

Ejemplo 5: derivada implícita de x^2 + y^2 = 25

Escribimos la ecuación

Derivamos los dos miembros

Despejamos y'

Verificamos

Resultado

Ejemplo 6: derivada segunda de f(x) = x^4 - 2x^3

Escribimos la función

Derivamos término a término

Simplificamos

Derivada de orden 2

Verificamos

Resultado

Ejemplo 7: derivada de f(x) = x^3 en x = 2

Escribimos la función

Usamos la regla de la potencia

Simplificamos

Evaluamos en el punto

Verificamos

Resultado

Ojo con…

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